2006-10-20, by leon_jlu
在图论中经常会遇到这样的问题，在一个有向图里，求出任意两个节点之间的最短距离。我们在离散数学、数据结构课上都遇到过这个问题，在计算机网络里介绍网络层的时候好像也遇到过这个问题，记不请了… 但是书本上一律采取的是Dijkstra算法，通过Dijkstra算法可以求出单源最短路径，然后逐个节点利用Dijkstra算法就可以了。不过在这里想换换口味，采取Robert Floyd提出的算法来解决这个问题。下面让我们先把问题稍微的形式化一下：
如果有一个矩阵D=[d(ij)]，其中d(ij)>0表示i城市到j城市的距离。若i与j之间无路可通，那么d(ij)就是无穷大。又有d(ii)=0。编写一个程序，通过这个距离矩阵D，把任意两个城市之间的最短与其行径的路径找出来。
我们可以将问题分解，先找出最短的距离，然后在考虑如何找出对应的行进路线。如何找出最短路径呢，这里还是用到动态规划的知识，对于任何一个城市而言，i到j的最短距离不外乎存在经过i与j之间的k和不经过k两种可能，所以可以令k=1，2，3，…，n(n是城市的数目)，在检查d(ij)与d(ik)+d(kj)的值；在此d(ik)与d(kj)分别是目前为止所知道的i到k与k到j的最短距离，因此d(ik)+d(kj)就是i到j经过k的最短距离。所以，若有d(ij)>d(ik)+d(kj)，就表示从i出发经过k再到j的距离要比原来的i到j距离短，自然把i到j的d(ij)重写为d(ik)+d(kj)，每当一个k查完了，d(ij)就是目前的i到j的最短距离。重复这一过程，最后当查完所有的k时，d(ij)里面存放的就是i到j之间的最短距离了。所以我们就可以用三个for循环把问题搞定了，但是有一个问题需要注意，那就是for循环的嵌套的顺序：我们可能随手就会写出这样的程序，但是仔细考虑的话，会发现是有问题的。
for(int i=0; i<n; i++)
for(int j=0; j<n; j++)
for(int k=0; k<n; k++)
问题出在我们太早的把i-k-j的距离确定下来了，假设一旦找到了i-p-j最短的距离后，i到j就相当处理完了，以后不会在改变了，一旦以后有使i到j的更短的距离时也不能再去更新了，所以结果一定是不对的。所以应当象下面一样来写程序：
for(int k=0; k<n; k++)
for(int i=0; i<n; i++)
for(int j=0; j<n; j++)
这样作的意义在于固定了k，把所有i到j而经过k的距离找出来，然后象开头所提到的那样进行比较和重写，因为k是在最外层的，所以会把所有的i到j都处理完后，才会移动到下一个k，这样就不会有问题了，看来多层循环的时候，我们一定要当心，否则很容易就弄错了。
接下来就要看一看如何找出最短路径所行经的城市了，这里要用到另一个矩阵P，它的定义是这样的：p(ij)的值如果为p，就表示i到j的最短行经为i->…->p->j，也就是说p是i到j的最短行径中的j之前的最后一个城市。P矩阵的初值为p(ij)=i。有了这个矩阵之后，要找最短路径就轻而易举了。对于i到j而言找出p(ij)，令为p，就知道了路径i->…->p->j；再去找p(ip)，如果值为q，i到p的最短路径为i->…->q->p；再去找p(iq)，如果值为r，i到q的最短路径为i->…->r->q；所以一再反复，到了某个p(it)的值为i时，就表示i到t的最短路径为i->t，就会的到答案了，i到j的最短行径为i->t->…->q->p->j。因为上述的算法是从终点到起点的顺序找出来的，所以输出的时候要把它倒过来。
但是，如何动态的回填P矩阵的值呢？回想一下，当d(ij)>d(ik)+d(kj)时，就要让i到j的最短路径改为走i->…->k->…->j这一条路，但是d(kj)的值是已知的，换句话说，就是k->…->j这条路是已知的，所以k->…->j这条路上j的上一个城市(即p(kj))也是已知的，当然，因为要改走i->…->k->…->j这一条路，j的上一个城市正好是p(kj)。所以一旦发现d(ij)>d(ik)+d(kj)，就把p(kj)存入p(ij)。
下面是具体的C代码：
#include
#include
#include
#define MAXSIZE 20
void floyd(int [][MAXSIZE], int [][MAXSIZE], int);
void display_path(int [][MAXSIZE], int [][MAXSIZE], int);
void reverse(int [], int);
void readin(int [][MAXSIZE], int *);
#define MAXSUM(a, b) (((a) != INT_MAX && (b) != INT_MAX) ?
((a) + (b)) : INT_MAX)
void floyd(int dist[][MAXSIZE], int path[][MAXSIZE], int n)
{
int i, j, k;
for (i = 0; i < n; i++)
for (j = 0; j < n; j++)
path[i][j] = i;
for (k = 0; k < n; k++)
for (i = 0; i < n; i++)
for (j = 0; j < n; j++)
if (dist[i][j] > MAXSUM(dist[i][k], dist[k][j]))
{
path[i][j] = path[k][j];
dist[i][j] = MAXSUM(dist[i][k], dist[k][j]);
}
}
void display_path(int dist[][MAXSIZE], int path[][MAXSIZE], int n)
{
int *chain;
int count;
int i, j, k;
printf(“nnOrigin->Dest Dist Path”);
printf( “n—————————–“);
chain = (int *) malloc(sizeof(int)*n);
for (i = 0; i < n; i++)
for (j = 0; j < n; j++)
{
if (i != j)
{
printf(“n%6d->%d “, i+1, j+1);
if (dist[i][j] == INT_MAX)
printf(” NA “);
else
{
printf(“%4d “, dist[i][j]);
count = 0;
k = j;
do
{
k = chain[count++] = path[i][k];
} while (i != k);
reverse(chain, count);
printf(“%d”, chain[0]+1);
for (k = 1; k < count; k++)
printf(“->%d”, chain[k]+1);
printf(“->%d”, j+1);
}
}
}
free(chain);
}
#define SWAP(a, b) { temp = a; a = b; b = temp; }
void reverse(int x[], int n)
{
int i, j, temp;
for (i = 0, j = n-1; i < j; i++, j–)
SWAP(x[i], x[j]);
}
void readin(int dist[][MAXSIZE], int *number)
{
int origin, dest, length, n;
int i, j;
char line[100];
gets(line);
sscanf(line, “%d”, &n);
*number = n;
for (i = 0; i < n; i++)
{
for (j = 0; j < n; j++)
dist[i][j] = INT_MAX;
dist[i][i] = 0;
}
gets(line);
sscanf(line, “%d%d%d”, &origin, &dest, &length);
while (origin != 0 && dest != 0 && length != 0)
{
dist[origin-1][dest-1] = length;
gets(line);
sscanf(line, “%d%d%d”, &origin, &dest, &length);
}
}
测试程序如下所示：
int main(void)
{
int dist[MAXSIZE][MAXSIZE];
int path[MAXSIZE][MAXSIZE];
int n;
printf(“nInput the path information:”);
printf(“n—————————-n”);
readin(dist, &n);
floyd(dist, path, n);
display_path(dist, path, n);
getchar();
}
其中readin函数规定了输入的格式，第一列是指出有多少个城市；第二列以后每行三个数；第一个和第二个是一条路径的起点和终点，第三个数是路径的长度，最后以三个0作为输入结束条件。下面是一个输入的例子：
Input the path information:
————————————–
4
1 2 5
2 1 50
2 3 15
2 4 5
3 1 30
3 4 15
4 1 15
4 3 5
0 0 0
对应的输出结果为：
Origin->Dest Dist Path
———————————————-
1->2 5 1->2
1->3 15 1->2->4->3
1->4 10 1->2->4
2->1 20 2->4->1
2->3 10 2->4->3
2->4 5 2->4
3->1 30 3->1
3->2 35 3->1->2
3->4 15 3->4
4->1 15 4->1
4->2 20 4->1->2
4->3 5 4->3
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Floyd最短路径算法